НОВОЕ РАСШИРЕНИЕ КЛАССИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

© Г.В.Томский, 2007
g.tomski@gmail.com

Теория динамических интеллектуальных игр преследования (ДИП) притягивает внимание специалистов с 1989 года [1, 2]. Успех ЖИПТО (JIPTO - Jeux Intellectuels de Poursuite de Tomski), популяризуемой в международном масштабе благодаря поддержке ЮНЕСКО и используемой для развития интеллектуальных и творческих возможностей учащихся [2-6], усиливает этот интерес. Элементарные геометрические разделы математики ЖИПТО в совокупности с элементарными задачами геометрии простого преследования [7] образуют основу интерсного расширения элементарной школьной геометрии, которое можно называть элементарной геометрией преследования.

Особенности ЖИПТО. Успех ЖИПТО и богатство возможностей его использования в образовании объясняется тем, что поле для игры представляет вертикальный триптих, а тема преследования дает неограниченные возможности для творческой фантазии художников «жиптографов». Это также облегчает защиту авторских прав на игру.

Базовые версии JIPTO-В1-А1, JIPTO-В1-А2, JIPTO-В2-А1, JIPTO-В1-А2 и другие моделируют ситуации с один «преследователем» и пятью «убегающими». Целью «убегающих», сосредоточенных в начале игры на одной стороне игрового поля, является достижение противоволожной стороны, чему стремится препятствовать «преследователь». В случае поимки до пересечения игрового поля результат пойманного «убегающего» оценивается в зависимости в какой из трех основных зон игрового поля, разделенных линиями I, II и III, он пойман.

На основе модификации этой версии путем введения веса фишек, возможности их рокировки, дополнительных фишек «спасателей» и др., получаются более сложные и увлекательные версии на любой вкус. Существуют также полуазартные версии, когда очередность хода фишек определяется случаем. Официальный сборник правил ЖИПТО содержит описание 2480 вариантов игры. Для любителей комбинаторных игр придуманы «жиптоиды» - дискретные приближенные версии ЖИПТО.

В 1993 году по инициативе Заместителя Генерального директора ЮНЕСКО по образованию Колина Пауэра была организована ФИДЖИП (Международная федерация ЖИПТО.

Математические модели. Начнем с того, что в ЖИПТО можно играть, рисуя с помощью трафарета, траектории «преследователя» и «убегающих» в виде последовательности касающихся между собой кругов. Такая форма игры достаточно удобна и широко практиковалась в 1987-1992 годах до начала распространения наборов для игры. Заменяя нарисованные на бумаге круги геометрическими кругами на плоскости, получаем геометрическую модель ЖИПТО. Аналитическая модель ЖИПТО помещает этот обширный класс игр среди динамических игр с дискретным временем. Наконец, базовые версии ЖИПТО можно приближенно моделировать с помощью дифференциальных игр простого преследования, называемых «идеальными ЖИПТО». Заметим, что многие версии ЖИПТО являются многокритериальными или неантагонистическими.

В JIPTO-B2 пути (траектории) состоят из кругов диаметра d = 2. Можно изучить игры с другими значениями d < t =" 0."> s,

где a - максимальная скорость Р и b - максимальная скорость F (a > b, часто a = 2 и b = 1). Отметим, что в идеальном математическом ЖИПТО «преследователь» и «убегающие» могут изменить направление своих движений в любой момент времени. Для того, чтобы облегчить анализ, можно изучать более простые идеальные математические ЖИПТО с меньшим количеством «убегающих» (один, два или три), с меньшим количеством линий (одна, две), а также с небольшим количеством ходов (один, два, три и т.д.).

Приведем несколько примеров наиболее используемых стратегий «преследователя».

Простое преследование: «Преследователь» следует за «убегающим». При каждом своем ходе, он делает шаг по направлении к позиции этого «убегающего».

Перехват: Если «убегающий» идет по фиксированному направлению, то «преследователь» определяет соответствую позицию поимки и начинает двигаться к этой позиции. Когда «убегающий» меняет направление, то «преследователь» определяет новую позицию поимки и начинает двигаться к этой позиции.

Заграждение: Сначала «преследователь» доходит до позиции между «убегающим» и одним из линий I, II, III (границ зон M(1), M(2), M(3)), затем после каждого шага «убегающего», «преследователь» восстанавливает такое положение (когда прямая, проходящая через центры позиций «преследователя» и «убегающего» перпекулярна к линии I), приближаясь к «убегающему».

Умелая комбинация этих стратегий в можеть дать эффективные «суперстратегии».

Опишем теперь элементарные стратегии «убегающих».

Движение к цели: Движение по перпендикуляру к линии III.

Можно позволить «убегающему» отступать, если «преследователь» приближается к нему.

Бегство: «Убегающий» делает свой шаг, чтобы быть как можно дальше от «преследователя».

Можно соединить эти стратегии в различные «обходные маневры», когда «убегающий» пытается пройти к линии III и убегает от «преследователя», когда тот приближается к нему.

Элементарная геометрия преследования. В книге [5] с таким названием рассматриваются ЖИПТО и другие динамические игры, в которых траектории преследователей и убегающих являющиеся ломаными линиями или цепочками касающихся между собой кругов. Стратегии преследования и убегания определяются в геометрических терминах. Например, стратегии преследователя описывают правила построения с помощью линейки и циркуля траекторий в зависимости от реализации траекторий убегающего (или убегающих, если их много, а также других преследователей, если они существуют). Поэтому в геометрии JIPTO и других подобных игр преследования рассматриваются траектории, которые являются объектами классической геометрии: ломаные, цепочки касающихся кругов и т. д. Но к преобразованиям и другим отношениям изучаемым в классической геометрии добавляется бесконечное число преобразований и отношений, порожденных различными стратегиями. В играх на быстродействие сравниваются длины траекторий преследователя до момента поимки, в играх с линией жизни проверяется достигают ли эту линию все траектории убегающего, соответствуюшие изучаемой стратегии. Версии JIPTO имеют более сложные критерии и иногда являются многокритериальными.

Источник новых элективных курсов. Мы предлагаем сотрудничество и помощь всем педагогам, способным разработать и внедрить элективные и факультативные курсы по этому разделу математики. Перечислим некоторые теоремы из книги [5]:

- Теорема Томского о рекурсивной стратегии погонного преследования (доказана в 1978 году).

- Теорема Томского о Е-стратегии погонного преследования (1988).

- Теорема Петросяна о П-стратегии и кругах Аполлония (доказанное Л.А.Петросяном с использованием элементов высшей математики в1962 году, доказательство с использованием методов элементарной геометрии предложено Г.В. Томским в 1982 году).

- Теоремы Петросяна об играх с линией жизни (1962-1968).

- Теоремы Томского о зонах захвата и убегания (1971).

- Теорема Кайгородова (1988).

- Теорема Голикова-Томского о базовой версии ЖИПТО (сформулированное А.И. Голиковым в 1991 году и доказанная Г.В.Томским в 2004 году).

Все эти теоремы могли быть доказаны способными к математике школьниками старших классов или творчески настроенными учителями математики.

Уровни математической культуры. Приобщение к геометрии преследования позволяет приобщиться к методу математического моделирования, понять ее возможности и пределы, что важно и актуально в настоящее время, когда благодаря бурному развитию математики и информатики человечество вступило в «эпоху моделирования». В эту эпоху важно поднять математическую культуру членов общества, которую мы делим на следующие основные уровни:

Начальный уровень: приобщение к элементарным математическим объектам и понятиям.

Средний уровень: Освоение одного из разделов математики, начиная от элементарной геометрии, кончая современными математическими теориями.

Высший уровень: Способность к созданию нового математического знания.

Таким образом, можно говорить о существовании математической культуры у индивидуума только с момента начала понимания сущности элементарных математических объектов. Если ребенку дается легко переход от конкретных объектов к идеальным, то можно начинать надеяться на существование у него математических способностей. Быстрота усвоения математических знаний является необходимым, но не достаточным условием одаренности в области математики. Даже победители математических олимпиад не всегда являются удовлетворяют критериям творческой одаренности в области математики и часто не способны стать профессиональными математиками. Дело в том, что математическая олимпиада является конкурсом решения задач повышенной трудности, которые при условии удачного определения метода решаются в принципе в течении не более чем одного часа. Настоящие математические проблемы требуют для своего решения многих месяцев, иногда многих годов непрерывных рассуждений. Поэтому победы в олимпиадах не являются свидетельством пригодности к профессиональной научной работе в области математики. Заметим, что наши критерии позволяют считать Эвклида, Архимеда и других великих математиков древности носителями высокой математической культуры, тогда как нетворческие, но способные к учебе личности, выучившие университетскую программу высшей математики, обладают математической культурой только среднего уровня

Популяризация ЖИПТО и элементарной геометрии преследования в школах призвана способствовать поднятию математической культуры учителей и учащихся. Появляется возможность перейти от использования косвенных критериев математической одаренности к тестированию способных учеников на настояших нерешенных математических проблемах и их раннего приобщения (примерно с 15 лет) к настоящей исследовательской деятельности.

Источник нерешенных проблем. Каждая версия ЖИПТО заслуживает математического исследования, которая может быть оформлена в виде дипломной работы или даже диссертации "Математическая теория игры JIPTO-V", где V = JIPTO-B1-A1, JIPTO-B1-A2-P(1,2,3,4,5), ...

Такие исследования могут быть проведены по следующему плану: В первой главе описываются аналитическая и геометрическая модели рассматриваемой версии ЖИПТО, описываются основной и дополнительный критерии, обсуждаются используемые понятия оптимальности. Во второй главе исследуется случай, когда в конце игры остается один "убегающий". Дело осложняется наличием фазовых ограничений и существованием дополнительных критериев, используемых в случае ничьей по главному критерию. В этом случае оптимальные стратегии по второму критерию надо искать среди всех оптимальных стратегий по первому критерию и т.д. Поэтому нет уверенности даже в самом существовании оптимальных стратегий. По отношению к четвертому критерию базоваые версии ЖИПТО является игрой на быстродействие с пятью убегающими с геометрическими и стратегическими ограничениями. Но такие задачи не решены даже в случае двух убегаюших и при отсутствии ограничений. По отношению к основному критерию версии ЖИПТО являются играми с бесконечными количеством стратегий и разрывным критерием и не существует никакого численного метода нахождения оптимальных стратегий.

Поэтому нельзя надеяться на получение исчерпывающих результатов даже в этом простейшем случае. В третьей главе исследуется случай двух убегающих, в четвертой - трех, в пятой - четырех, в шестой - пяти убегающих. Речь может идти только о построении стратегий, гарантирующих достаточно хорошие результаты игрокам, хотя бы в частных случаях (например, при фиксированном порядке поимки или при каких-то других ограничениях на движения и стратегии).

Проведенные нами с 1990 года исследования показывают, что оптимальное значение базовых версий ЖИПТО скорее всего, равно 8 или 9.

Таким образом, элементарная геометрия преследования представляет собой новое перспективное расширение классической геометрии, интересное для целей популяризации математики и для математического образования.

Литература

Л.А.Петросян, Г.В.Томский. Элементарные задачи сближения и уклонения. Якутск: ЯГУ, 1989.
Л.А.Петросян, Г.В.Томский. Через игры к творчеству. Новосибирск: Наука, 1991.

G .Tomski, T.Tomski. JIPTO : Jeux de reflexion pour tous. ACL Editions, 1996.

G.Tomski. JIPTO : 1001 jeux pour tous. Editions du JIPTO, 2005.

G.Tomski. Géométrie élèmentaire de la Poursuite. Editions du JIPTO, 2005.

G.Tomski. JIPTO : de la Maternelle à l'Université. Editions du JIPTO, 2007.

Л.А.Петросян, Г.В.Томский. Геометрия простого преследования. Новосибирск: Наука, 1983.